Update: Mir wurden gestern 995€ von der Huk überwiesen. Alles ohne Anwalt, Kürzungen etc. Super unkompliziert und ohne unnötigen Stress.
Vielen Dank für alle hilfreichen Kommentare und für die Zukunft (sollte es nochmal zu einem Versicherungsfall kommen) weiß ich nun das Vorgehen und tendiere dann tatsächlich dazu bei Schäden über 1000€ dies über einen Anwalt laufen zu lassen (so wie es mir der Sachverständigen empfohlen hat)